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第54問 |
 【立体の体積
・線分の長さ】
右の図のように1辺の長さが２㎝の正八面体ABCDEFがあり、辺BFの中点をM、辺ACの中点をNとする。このとき、次の各問いに答えなさい。
(1) △ABFの面積を求めなさい。
(2) 線分AMの長さを求めなさい。
(3) 線分MNの長さを求めなさい。
(4) △AMNの面積を求めなさい。
（東京学芸大学附属高） |
解答 |
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第53問 |
【立体の表面積・体積】
１辺の長さが６の正四面体ABCDについて、次の問いに答えなさい。
(1) 頂点Aから面BCDにひいた垂線の長さを求めなさい。
(2) 正四面体ABCDの各面の三角形の重心を結んでできる立体の体積を求めなさい。
（市川高） |
解答 |
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第52問 |
【確率】
４個の箱Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのすべてには、赤、青、白の３色の球が１個ずつ計３個が入っている。これらの箱から同時に１個ずつ球を取り出す。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1) １色の色だけが取り出される確率を求めなさい。
(2) ３色の球すべてが取り出される確率を求めなさい。
(3) ２色の球だけが取り出される確率を求めなさい。
（城北高） |
解答 |
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第51問 |
【場合の数】
下の図のように、３，４，５の数字がひとつづつ書かれたカードが、順に３枚、４枚、５枚ある。このとき次の問いに答えなさい。
３ ３ ３ ４ ４ ４ ４ ５ ５ ５ ５ ５
(1)
全てのカードを、書かれた数の和が等しくなるように７枚と５枚の２組に分けるとき、５枚のほうの組に５のカードは何枚あるか。
(2) 全てのカードを、書かれた数の和が等しくなるように６枚ずつ２組に分けたところ、一方の組には５のカードが２枚あった。この組には３，４のカードはそれぞれ何枚あるか。
(3) カードを何枚か使って、書かれた数の和がそれぞれ５，１２，１３となる３組を作る。この３組の作り方は全部で何通りあるか。
（日本女子大附属） |
解答 |
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第50問 |
 【立体、三平方の定理】
右の図のような正四面体ABCDがある。辺AB,CDの中点をそれぞれＭ，Ｎとし、ＭＮ＝√2とするとき、次の各問いに答えなさい。。
(1) 正四面体の1辺の長さを求めなさい。
(2) 頂点Ａから△ＢＣＤに垂線ＡＨを下ろす。線分ＡＨとＭＮの交点をＯとするとき、ＡＯ：ＯＨを求めなさい。
(3) 頂点Ａから、辺ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上の点を順に通って点Ｍにいたる最短距離の長さを求めなさい。
（巣鴨高） |
解答 |
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第49問 |
 【立体の体積、三平方の定理】
母線の長さが10㎝、底面の半径が５／２㎝の円すいがある。次の問いに答えなさい。
(1) 円すいの体積を求めなさい。
(2) 円すいの頂点をO、底面の円周上の１点をAとし、母線OAの中点をMとする。図のようにMから円すいの側面に沿ってAまで糸を巻きつけたとき、その糸の最短の長さを求めよ。
（同志社高） |
解答 |
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第48問 |
 【相似、三平方の定理】
AB＝AC＝１３㎝の二等辺三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとする。辺AB上に点Eをとり、線分AMと線分DEの交点をFとしたところ、AD＝AF＝８㎝、DF＝４㎝であった。次の各問いに答えなさい。
(1) 線分AMの長さを求めなさい。
(2) 線分DEの長さを求めなさい。
(3) △DMEの面積を求めなさい。
（筑波大附属高） |
解答 |
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第47問 |
 【円の性質、三平方の定理】
右の図のように、AC,BCを直径とする2つの半円があり、大きい半円の弦AQが点Pで小さい円に接している。∠APC＝１２０°、小さい半円の半径を6として、次の各問いに答えなさい。
(1) ∠PACの大きさを求めなさい。
(2) 大きい半円の半径を求めなさい。
(3) 図の斜線部分の面積を求めなさい。
（青雲高） |
解答 |
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第46問 |
 【立体の体積、三平方の定理】
右の図のように、1辺の長さが6㎝の正四面体ABCDがある。辺AB,辺AC上にそれぞれ点Ｅ，Ｆをとる。ＡＥ＝4㎝、ＡＦ＝2㎝とするとき、次の問いに答えなさい。
(1) △ＤＥＦの面積を求めなさい。
(2) この正四面体を3点Ｄ，Ｅ，Ｆを通る平面で切ったとき、頂点Ｂを含む立体の体積を求めなさい。
（日大習志野高） |
解答 |
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第45問 |
【二次方程式の利用】
下の図のように、一直線の道に３地点Ｐ，Ｑ，Ｒがある。Ａ君は毎分ｘmの速さでPからRへ、B君は毎分75mの速さでQからPへ、C君は毎分ｙmの速さでＲからＰへ、それぞれ同時に出発して歩いていく。Ａ君とＢ君はＰから3600mのところですれ違い、その27分後にA君はQを通過した。このとき、次の問いに答えよ。
(1) ｘの値を求めよ。
(2) Ａ君とＣ君は出発してから40分後にすれ違い、Ａ君がＲに到着した18分後にＣ君はＰに到着した。ｙの値を求めよ。
（愛光高） |
解答 |
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第44問 |
【円の性質、三平方の定理、立体の体積】
空間内に、3点Ａ，Ｂ，Ｃおよび線分AB,BC,CAを直径とする円があり、これら3つの円が1点Ｏで交わっている。ＡＢ＝√6＋√2、ＢＣ＝√14、ＣＡ＝√6－√2とするとき、次の問いに答えよ。
(1) OAの長さを求めよ。
(2) 四面体O-ABCの体積を求めよ。
(3) △ABCを底面として見たとき、四面体O-ABCの高さを求めよ。
（海城高） |
解答 |
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第43問 |
【連立方程式の利用】
2つの濃度が違う食塩水の容器A,Bがある。容器Aには1200g、容器Bには800gの食塩水がそれぞれ入っている。Aの食塩水200gをBへ移し、よくかき混ぜてからBの食塩水500gをAに移すと、Aの食塩水の濃度は5％になる。また、Ａ，Ｂの食塩水をすべて混ぜ合わせると、濃度6％の食塩水ができる。このとき、容器Ａと容器Ｂの食塩水の濃度を求めなさい。
（国学院久我山高） |
解答 |
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第42問 |
【式の展開、因数分解】
（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２－ａｂ－ｂｃ－ｃａ）を展開しなさい。また、ａ３＋８ｂ３＋２７ｃ３－１８ａｂｃを因数分解しなさい。
（函館ラ・サール高） |
解答 |
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第41問 |
 【
おうぎ形の面積、三平方の定理】
右の図は、１辺が２㎝の正方形に内接する円と、正方形の１辺を直径とする円が重なった図です。斜線部分の面積を求めなさい。
（法政大高） |
解答 |
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第40問 |
 【円の性質、相似、三平方の定理】
右の図のように
、６㎝の線分ABを直径とする円Oがある。円周上にAB⊥COとなる点Cをとる。Ａ：Ｂを２：１の比に分ける点をＤ，ＣＤを延長した直線と円Ｏとの交点をＥとする。次の問いに答えよ。
(1) ＣＤの長さを求めよ。
(2) ＢＥの長さを求めよ。
(3) △ＡＤＥの面積を求めよ。
（同志社高） |
解答 |
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第39問 |
 【相似の利用】
右の図のように長方形ABCDの中に円Oが3点P,Q,Rで接している。AB＝６㎝、AD＝９㎝である。また、対角線BDとPQ,PCとの交点をそれぞれS,Tとする。次の問いに答えなさい。
(1) ＳＴ：ＴＤを求めなさい。
(2) 四角形ＳＴＣＱの面積を求めなさい。
（日大三高） |
解答 |
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第38問 |
【2乗に比例する関数の利用】
右の図の
２つのグラフは、放物線ｙ＝１／６ｘ２と直線ｙ＝２／３ｘ＋２を表している。放物線と直線の交点のうち、ｘ座標の大きいほうの点をＡとし、ｙ軸と直線との交点をＢとする。また、ｘ軸上の正の範囲に点Ｐ（ｔ，０）をとる。次の問いに答えなさい。
(1) 点Ａの座標を求めなさい。
(2) ＡＰ＝ＢＰとなるとき、ｔの値を求めなさい。。
(3) ＡＰ＋ＢＰの長さが最短となるとき、ｔの値を求めなさい。
（日大三高） |
解答 |
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第37問 |
 【2乗に比例する関数
の利用】
右の図のように、放物線ｙ＝１／２ｘ２と、点Ａ（０，－３）を通り傾きが正の直線 l がある。放物線と ｌ との交点をｘ座標の小さいほうから順にＢ，Ｃとし、ｌ とｙ軸との交点をＤとする。点Ｃのｙ座標が１８であるとき、次の問いに答えなさい。
(1) 点Ｃのｘ座標と ｌ の方程式を求めなさい。
(2) △ＯＢＡと△ＯＣＢの面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。
(3) 点Ｄを通り、△ＯＣＡの面積を2等分する直線の方程式を求めなさい。
（愛光） |
解答 |
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第36問 |
【連立方程式の利用】
あるクラスでサツマイモと大根の収穫をした。1本450gのサツマイモと1本940gの大根が合わせて245㎏収穫できた。このクラスの全員にサツマイモを6本ずつ配ると6本余り、大根を4本ずつ配ると24本足りない。サツマイモと大根の本数を求めなさい。また、このクラスの人数を求めなさい。
（お茶の水女子大付属高） |
解答 |
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第35問 |
 【二等辺三角形、中点連結定理、相似、円の性質、三平方の定理】
右の図のように、BC＝12、AC＝8の△ABCと、BCを直線とする中心Oの円がある。2辺ＡＢ，ＡＣと円Ｏの交点をそれぞれＤ，Ｅとし、ＤＥとＯＡの交点をＦとする。ＣＥ＝ＥＤのとき、次の各問いに答えなさい。
(1) ＡＥの長さを求めなさい。
(2) ＢＤの長さを求めなさい。
(3) ＤＦの長さを求めなさい。
(4) ＯＡの長さを求めなさい。
（東京学芸大学付属高） |
解答 |
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第34問 |
【連立方程式の利用】
次の問題では、Aさんはいつでも毎分60mの速さで歩き、Bさんは毎分smまたは毎分ｔmのいずれかの速さで歩くものとする。
学校から駅までをAさんが歩いたときの所要時間は30分であり、Bさんが毎分smで歩いた時の所要時間はAさんより10分少なく、毎分ｔｍの速さで歩いた時の所要時間はＡさんよりも6分多くかかる。このとき、次の問に答えなさい。
(1) ｓ、ｔの値を求めなさい。
(2) 2人が同時に学校を出発して駅に向かった。Ｂさんは、はじめ毎分ｓｍの速さで歩き、途中から毎分ｔｍに速さを変えて、歩いたら、Ａ酸と同時に駅に着いた。このとき、Ｂさんが毎分ｓｍの速さで歩いた道のりを求めなさい。
(3) 別の日に、2人が同時に学校を出発して駅に向かった。Ｂさんが毎分ｔｍの速さで歩いていたら、忘れ物を取りに引き返すＡさんと、学校から750ｍのところですれ違った。このとき、Ａさんが引き返したのは、学校を出発してから何分後かを求めなさい。
（東京工業大学付属科学技術高） |
解答 |
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第33問 |
 【円の性質、三平方の定理】
右の図で、△ABC≡△DCB、AE＝2√2㎝、CD＝√6㎝、∠ACE＝∠ABE＝90°、∠BEC＝122°である。このとき、∠AEBと∠EDCの大きさを求めよ。
（慶應義塾高） |
解答 |
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第32問 |
【２次方程式の利用】
ある商品の値段をｘ％値下げしたところ、売上個数が２ｘ％増え、売上金額もｘ／１０（１０分のｘ）％増えた。このとき、ｘの値を求めなさい。ただし、ｘ＞０とする。
（市川高） |
解答 |
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第31問 |
【２次方程式の利用】
ある高校の２０２１年度の入学者数は４００名であった。２０２２年度の入学者数は２０２１年度よりもｘ％増加し、２０２３年度は２０２２年度よりもｘ％減少した。その結果、２０２１年度から２０２３年度までの入学者数の合計は１２１９名となった。また、どの年度の入学者数も５００名以下であった。このとき、ｘの値を求めよ。
（青山学院高等部） |
解答 |
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第30問 |
【連立方程式の利用】
容器Aにはｘ％の食塩水が400g、容器Bにはｙ％の食塩水が500ｇ入っている。いま、容器Ａ、Ｂからそれぞれ100gの食塩水を取り出し、容器Aから取り出した食塩水を容器Bに、容器Bから取り出した食塩水を容器Aに入れてかき混ぜる。その後、それぞれの容器の水をすべて蒸発させたところ、容器A、容器Bとも22gの食塩が残った。次の各問いに答えなさい。
（1） 水をすべて蒸発させた後の容器Aに残った食塩の量をｘ、ｙで表せ。
（2） ｘ、ｙの値を求めよ。
（成蹊高） |
解答 |
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第29問 |
【連立方程式の利用】
ある川の上流に地点Pがあり、その37.8ｋｍ下流に地点Ｑがある。ある時刻にボートがＰからＱに向かって、遊覧船がＱからＰに向かって同時に出発した。ボートと遊覧船は出発してから42分後にすれ違い、さらにその12分後にボートはＱに到着した。ボートはＱでｘ分間休んだ後、再びＰに向かって出発し、途中で遊覧船を追い越した。ボートがＱを出発し
てから遊覧船を追い越すまでに要した時間は、ボートがＰを出発してからＱを出発するまでに要した時間のちょうど半分であった。川の流れの速さは毎分ａｍ、ボートの静水中での速さは毎分ｂｍ、遊覧船の静水中での速さは毎分ｃｍとする。
(1) 遊覧船がＱを出発してからＰに到着するまでに要した時間を求めよ。
(2) ａ，ｂ，ｃの値を求めよ。
(3) ボートがＰに到着してから7分後に遊覧船がＰに到着した。ｘの値を求めよ。
（灘高） |
解答 |
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第28問 |
 【三平方の定理・円の性質・相似】
右の図は、ABを直径とする半径４の半円である。点Cと点Eは円周上にあり、BC＝２、CD＝３である。ACとBEの交点をPとするとき、APの長さを求めよ。
（日大豊山高） |
解答 |
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第27問 |
 【一次関数・動点】
右の図のように、たて４㎝、横１２㎝の長方形ABCDがあります。２点P,Qは同時に点Aを出発します。点Pは秒速0.5ｍで長方形ＡＢＣＤの辺上を移動し、点Ｂ，Ｃ，Ｄの順に通ってＡに戻ってきます。点Ｑは秒速１ｍで長方形ＡＢＣＤの辺上を移動し、点Ｄ，Ｃ，Ｂの順に通ってＡに戻ってきます。２点Ｐ，Ｑが同時に点Ａを出発してからｘ秒後の三角形ＡＰＱの面積をｙ㎠とします。このとき、次の問いに答えなさい。
(1) 次のそれぞれの場合について、2点Ｐ，Ｑがともに辺ＢＣ上にあるとき、ｙをｘで表しなさい。また、そのときのｘのとりえる値の範囲を不等号を用いて書きなさい。ただし、点Ｐと点Ｑが重なった瞬間は考えないものとします。
ア 点Ｐと点Ｑが重なる前 イ 点Ｐと点Ｑが重なった後
(2) 2点Ｐ，Ｑがともに辺ＢＣ上にあるとき、三角形ＡＰＱの面積が４㎠になるのは、点Ａを出発してから何秒後ですか。
（立命館高） |
解答 |
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第26問 |
【平面図形、円周角と中心角、三平方の定理】
下の図のように、大、小２つの半円板を、中心Oが重なるように置いておく。大きいほうの半円板を、点Aを中心として時計回りに回転して、弧AB上に点Oがくるようにしたら、弧ABと弧CDの交点Mが弧AM＝弧MOをみたすようになった。このとき、次の問に答えよ。
(1) ∠COMの大きさを求めよ。
(2) AB＝４のとき、２つの半円板が重なった部分の面積を求めよ。
（ラ・サール高） |
解答 |
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第25問 |
【方程式の利用】
ある店ではＡ，Ｂ２つの品物を売っている。昨日より今日は、Ａ，Ｂともにｋ個ずつ多く売れ、今日の売上個数はＡ，Ｂ合わせて153個であった。また、売上個数に関して、昨日より今日は、Ａについて15％増加、Ｂについて12％増加したことになる。このとき、次の問に答えなさい。
(1) 昨日のＡ，Ｂの売上個数をｋの式で表せ。
(2) 今日のＡ，Ｂの売上個数をそれぞれ求めよ。
（ラ・サール高） |
解答 |
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第24問 |
【方程式の利用】
あるパン屋さんでは、1個60円のパンが毎日800個売れます。このパン1個につきｘ円値上げすると、1日の売上個数が、５ｘ個減ることが分かっているとき、今より売上金額を8000円上げるには、パン1個の値段をいくらにすればよいですか。ただし、売上幅は50円未満とします。
（東京電機大学高） |
解答 |
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第23問 |
【円の性質・相似】
右の図において、四角形ＡＢＣＤが図のような位置で円に内接しているとき、ｘの値を求めよ。ただし、点Ｏは円の中心とする。
（日大豊山高） |
解答 |
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第22問 |
【数の性質】
２つの正の整数Ａ，Ｂ（Ａ＞Ｂ）があり、ＡＢ＝１９２０、Ａ，Ｂの最小公倍数が２４０である。このとき、ＡとＢの和が最少となるＡの値を求めなさい。
（明大付属明治） |
解答 |
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第21問 |
【因数分解】
等式 ｘ２－９ｙ２＝１３３ を満たす自然数ｘ、ｙの組を全て求めよ。
（立教新座高） |
解答 |
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第20問 |
【数の性質】
０，１，２の３種類の数字を用いて整数をつくり、次のように小さい順に並べていく。
０，１，２，１０，１１，１２，２０，・・・・このとき、次の問いに答えなさい。
(1) 15番目の数は何ですか。
(2) ２０１１は何番目の数ですか。
（立教新座高） |
解答 |
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第19問 |
【一次方程式の利用】
ともに1分ごとに動く長針と短針を持つ時計がある。この時、次の問いに答えなさい。ただし、長針と短針のつくる角度は、１８０°以下で考えること。
(1) 2時36分のとき、長針と短針のつくる角度を求めなさい。
(2) 4時15分以降に初めて長針と短針のつくる角度が１００°になるときの時刻を求めなさい。
（日大三高） |
解答 |
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第18問 |
【連立方程式の利用】
A君とB君の2人がイチゴの箱詰め作業をしました。A君は15秒でｘ個入りの箱を１つ作り、Ｂ君は20秒でｙ個入りの箱を１つ作る。2人がいっしょに10分間作業したところ、850個のイチゴが箱詰めされた。また、Ａ君の箱５つに入っているイチゴの個数はＢ君の箱3つに入っているイチゴの個数より5個多い。このとき、ｘとｙの値を求めよ。
（関西学院高等部） |
解答 |
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第17問 |
 【方程式・平方根の計算】
1辺が1㎝の正方形を紙で２枚作って重ね、そのうちの１枚を対角線の交点を中心として４５°回転させたとき、２枚の正方形が重なる部分（図の灰色部分）の面積を求めなさい。
（慶應義塾高）
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解答 |
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第16問 |
【数の性質、二次方程式】
2つの自然数ａ，ｂに対して、ａをｂで割ったときの余りを（ａ，ｂ）と表す。たとえば、（１０，３）＝１、（４，２）＝０である。このとき、（ｘ，4）２＋４（ｘ、４）ー２１＝０を満たす2桁の自然数ｘは、全部で何個ありますか。
（明大付属明治） |
解答 |
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第15問 |
【数の性質】
１からある数までの連続する整数を、左から順に並べて数を作ります。例えば、１から１２までのときは１２３４５６７８９１０１１１２のように、15桁の数ができます。このとき、次の問に答えなさい。
(1) １から９９９までで数を作りました。
ア この数は何桁ですか。
イ この数には、同じ数字がいくつか連続しているところがあります。同じ数字が5個連続している部分は、何か所ありますか。
ウ 同じ数字が3個連続している部分は何か所ありますか。ただし、イで数えたものは含みません。
(2) １からある数までで数を作ったら、２０１１桁より大きい桁の数になりました。ある数として考えられるもののうち、最も小さいものを答えなさい。
（筑波大付属駒場） |
解答 |
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第14問 |
【因数分解・方程式】
次の問に答えなさい。
（１） ｍｎ－ｍ－ｎ＋１を因数分解しなさい。
（２） ｍｎとｍ＋ｎの差が２０１１となる自然数ｍ、ｎ（ただし、ｍ＞ｎ）の組を全て求めなさい。 |
解答 |
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第13問 |
【因数分解】 9a2ー1ー4b2＋4bを因数分解しなさい。
（白陵高） |
解答 |
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第12問 |
【確率】
１から６までの数字が書かれた６枚のカードが入った箱がある。この箱からカードを１枚ずつ４枚取り出し、取り出した順に並べていく。このとき、次の問に答えなさい。
(1) 並べ方は全部で何通りありますか。
(2) 並べたカードの両端が１と６になっている確率を求めなさい。
(3) 並べたカードに１と６が含まれ、しかも１が６よりも左側にある確率を求めなさい。
（愛光高） |
解答 |
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第11問 |
【数の計算】
2023に自然数をかけて、ある整数の3乗になるようにしたい。かけるべき最小の自然数を求めなさい。 |
解答 |
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第10問 |
【数の計算】
８０×７５×５３×３０×２５の一の位の数は０である。一の位、十の位、百の位・・・と、順にみていくとき、一の位から連続して並んでいる０の個数を答えなさい。
（お茶の水女子附属高） |
解答 |
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第９問 |
【因数分解・式の値】
ｘ＝１＋ 、 ｙ＝２＋ 、ｚ＝４＋ のとき、
xyz－4xy－yz－2zx＋8x＋4y＋2z－8の値を求めなさい。
（灘高） |
解答 |
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第８問 |
【数の性質】
１を７で割ったときの小数点以下第100位の数を求めなさい。 |
解答 |
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第７問 |
【平行線と面積】
下の△ABCの面積を、点Dを通る線分で二等分しなさい。
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解答 |
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第６問 |
【方程式】
ある昆虫の、オスは１匹５円、メスは１匹３円、幼虫は３匹で１円です。オスをできるだけ多くして、１００円で１００匹の昆虫を買おうと思います。オス、メス、幼虫それぞれ何匹ずつ買えばいいでしょうか。 |
解答 |
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第５問 |
【数の計算】
２56と５24ではどちらが大きいですか。 |
解答 |
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第４問 |
【数の計算】
３２０２３ の、一の位の数を求めなさい。
（明治学院高） |
解答 |
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第３問 |
【数の計算】
９９９９－２０００４＋１００１×９９１＋９－１０００１×１９９９６ を計算しなさい。
（慶應義塾女子） |
解答 |
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第２問 |
【確率】
大中小の3つのサイコロを投げて出た目の積が偶数になる確率を求めなさい。
（日大二高） |
解答 |
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第１問 |
【数の計算】
 が自然数になり、 がこれ以上約分できないような分数になる最大の整数ｎを求めなさい。
（日大二高） |
解答 |
