前ちゃんの中学校数学の部屋

中学校学習指導要領解説の数学編（平成20年9月）に、第3学年の「数と式」における数学的活動として、速算法のことが出ています。そのねらいは仕組みを文字式を使って明らかにしたり、新たな速算法とその仕組みを考えることで、発展させることをねらいとしています。小学校で学習したかけ算の筆算を、文字式としてみた場合の仕組みについて考え、解明し、違う方法で早く正確な答えを出すことができるというのは、生徒にとってとても魅力的なことではないでしょうか。ここでは少し速算法について私なりに分かりやすく説明していきたいと思います。

　参考文献：退職後もご活躍しておられます、村上敏光先生著「計さんの友」

１０の位が同じ数、１の位の和が１０になる２けたの数のかけ算

右の計算　７４×７６　をまず文字式で一般化します。

２けたの数をそれぞれ　10a+c、10b+d　とすると、

(10a+c)(10b+d)=100ab+10ad+10bc+cd

この式の場合１０の位の数が７と７で等しいので a=b となり、

=100a2+10a(c+d)+cd

=10a(10a+c+d)+cd

さらに、１の位の数の和（４＋６）が１０なので、c+d=10

=100a(a+1)+cd

このことから、このパターン（１０の位が同じ数、１の位の和が１０）の計算は１００の位以上がa(a+1)、１０の位までがcdとなり、

a(a+1)=7×(7+1)=7×8=５６、cd=4×6=２４で５６２４となります。

練習問題

(1) 　　 　 (2)　　    (3) 　　　   (4)　　　   (5)

    54　　　　 43          18          25            89

×56       ×47       ×12       ×25        ×81　　　　答えはこちら

(例)　  

７４

  ×７６

５６２４

１の位が同じ数で、１０の位の和が１０になる２けたの数のかけ算

右の計算　４７×６７　をまず文字式で一般化します。

２けたの数をそれぞれ　10a+c、10b+d　とすると、

(10a+c)(10b+d)=100ab+10ad+10bc+cd

この式の場合１の位の数が７と７で等しいので c=d となり、

=100ab+10ac+10bc+c2

=100ab+10c(a+b)+c2

さらに、１０の位の数の和（４＋６）が１０なので、a+b=10

=100(ab+c)+c2

このことから、このパターン（１の位が同じ数、１０の位の和が１０）の計算は１００の位以上がab+c、１０の位までがc2となり、

ab+c=4×6+7=31、c2=7×7=49で3149となります。

練習問題

(1) 　　 　 (2)　　    (3) 　　　   (4)　　　   (5)

    45　　　　 34          81           52           98

×65       ×74       ×21       ×52        ×18　　　　答えはこちら

 (例) 

４７

  ×６７

３１４９