前ちゃんの中学校数学の部屋

第73問

【箱ひげ図とデータの活用】　次のデータは、９人の生徒が受けたテストの点数です。

３，８，９，１２，１３，１５，１６，１７，１９

このデータの四分位範囲を求めなさい。　

（東京電機大学高）

第72問

【2乗に比例する関数】　 放物線ｙ＝ａｘ^２上の点Ａのｘ座標は１であり、図のように点Ａを通る直線がこの放物線と点Ｂで、また、ｘ軸と点Ｃで交わっている。点Ｃのｘ座標は１より大きく、AB＝ACが成り立つとき、次の問いに答えなさい。

１　点Bの座標をａを用いて表しなさい。

２　点Ｃの座標を求めなさい。

３　△ＯＡＢをｘ軸の周りに１回転してできる立体の体積をａを用いて表しなさい。

（ラ・サール高）

第71問

【2乗に比例する関数】　 右の図において、関数ｙ＝１／２ｘ^２のグラフ上にｘ座標が負である点Ａ，Ｂをとり、ｘ座標が正である点Ｃ，Ｄをとる。直線ＡＣと直線ＢＤの傾きはともに１であり、ＡＣ，ＢＤとｙ軸との交点をそれぞれＰ，Ｑとすると、ＡＰ：ＰＣ＝２：３、ＢＱ：ＱＤ＝１：２である。また、直線ＡＢとＣＤの交点をＥとするとき、次の問いに答えなさい。

１　点Ａの座標を求めなさい。

２　直線ＢＤの式を求めなさい。

３　四角形ＡＢＤＣの面積をＳ、△ＢＤＥの面積をＴとするとき、Ｓ：Ｔをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

（東京工業大学附属科学技術高）

第70問

【２次方程式の利用】　 １本の針金を３つに切り分け、長い順にＡ，Ｂ，Ｃとしました。このとき、ＡはＢより４�p長く、ＢはＣより４�p長くなりました。Ａ，Ｂ，Ｃそれぞれの針金を折って３つの正方形を作ります。それらの正方形の面積の和が１４９㎠であるとき、もとの針金の長さを求めなさい。

（立命館高）

第69問

【2乗に比例する関数】　 右の図において、放物線�@は関数ｙ＝ｘ^２のグラフであり、�@上のｘ座標が２である点をＡ、点Ａを通りｘ軸に平行な直線と�@との交点のうち、点Ａと異なる点をＢとする。放物線➁は関数ｙ＝ａｘ^２（ａ＜０）のグラフであり、➁上に点Ｃ、ｙ軸上に点Ｄを、四角形ＡＢＣＤが平行四辺形となるようにとり、直線ＡＣとｙ軸との交点をＥとすると、点Ｅのｙ座標が２となった。このとき、次の問いに答えなさい。

１　点Ｂの座標を求めなさい。 

２　直線ACの式を求めなさい。

３　ａの値を求めなさい。

４　点Ｐは、放物線�@上を、原点Ｏから点Ｂまで動く点とする。点Ｐを通りｙ軸に平行な直線と放物線➁との交点をＱとする。△ＡＢＰの面積と△ＣＤＱの面積が等しくなるとき、点Ｐのｘ座標を求めなさい。

（愛媛県）

第68問

【動点・2乗に比例する関数】　右の図のように、３点O（０．０）、A（４，４）、B（６，０）を頂点とする△OABがある。点Pは、原点Oを出発して辺OA上を点Aまで動き、点Aからは辺AB上を点Bまで動く。点Pからｘ軸にひいた垂線とｘ軸との交点をＱとし、点Ｐのｘ座標をｔ、ＯＰＱの面積をＳとする。ただし、ｔ＝０，６のとき、Ｓ＝０とする。このとき、次の問いに答えなさい。

１　直線ＡＢの式を求めなさい。２　０≦ｔ≦４のとき、

 　(1)　Ｓをｔの式で表し、そのグラフをかきなさい。 　(2)　(1)の関数について、ｔの値が１から3まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

３　点Ｐが辺ＡＢの中点にきたときのＳの値を求めなさい。

４　４≦ｔ≦６のとき、Ｓ＝６となるようなｔの値を求めなさい。

（愛媛県）

第67問

【合同の証明・相似比・三平方の定理】  右の図のように、3点Ａ，Ｂ，Ｃが円Ｏの周上にあり、ＡＢ＝ＡＣである。点Ａを通り線分ＢＣに平行な直線をℓとし、直線ℓ上に点Ｄを、ＡＢ＝ＡＤとなるようにとる。直線ＢＤと線分ＡＣとの交点をＥ、直線ＢＤと円Ｏとの交点のうち、点Ｂと異なる点をＦとする。また、直線ＣＦと直線ℓとの交点をＧとする。ただし、∠ＣＡＤは鋭角とする。このとき、次の問いに答えなさい。

１　△ACG≡△ADEであることを証明しなさい。 

２　AG＝４�p、GD＝２�pのとき、

(1)   線分BCの長さを求めなさい。

(2)   △DGFの面積を求めなさい。

（愛媛県）

第66問

【 相似の証明】  右の図１のように、線分ABを直径とする円Oと直線ℓが点Bで接している。円Oの周上に点A、Bと異なる位置に点Cをとり、直線ACと直線ℓとの交点をDとし、直線COと円Oとの交点をEとする。また、点Aと点Eを結び、△CAEをつくる。このとき、次の問いに答えなさい。

１　△ABD∽△CAEであることを証明しなさい。

２　右の図２において、OA＝２�p、AC＝３�pであるとき、

　(1)　線分CDの長さを求めなさい。

　(2)　２点D、Oを結んでできる△OCDの面積を求めなさい。

（愛媛県）

第65問

【 相似の証明】 　図１のように、線分ABを直径とする半円Oの弧AB上に、２点C、Dを、∠COD＝９０°となるようにとり、線分ODと線分BCの交点をEとする。また点Bと点D、点Cと点Dをそれぞれ結び、△BCDをつくる。このとき、次の問いに答えなさい。（円周率はπを用いること。）

１　△BCD∽△DCEであることを証明しなさい。

２　図２のように、AB＝14�p、BC＝12�pであるとき、

　(1)　線分CEの長さを求めよ。

　(2)　図３のように、弧AC上に点Fを∠COF＝４５°となるようにとるとき、線分CFと線分　DFと弧CDとで囲まれた部分の面積を求めよ。

（愛媛県）

第64問

【証明】 　1辺の長さがａ�pの正方形ABCDの折り紙がある。この折り紙を点Aと点Dが重なるように折り目を付け、辺ADの中点Mをとる。次に紙を戻し、点Bが点Mに重なるように折ると図のようになった。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)　△AEM∽△GFHを証明しなさい。

 　(2)　DH:HCを求めなさい。

（大教大附属池田）

第63問

【証明】 　右の図のように、平行四辺形ABCDの辺BCと辺CDを１辺とする正三角形BCF、正三角形CDEをつくります。このとき、次の各問いに答えなさい。

１　△ABFと△EDAが合同であることを証明しなさい。

２　∠EAFの大きさを求めなさい。

（広大附属高）

第62問

【方程式】 　５％の食塩水が１００ｇ入った容器A、４％の食塩水が１００ｇ入った容器Ｂ、空の容器Ｃがある。容器Ａ，Ｂからそれぞれｘｇ、２ｘｇを取り出し、容器Ｃに入れてよくかき混ぜ、また、容器Ａ，Ｂにそれぞれ水をｘｇ、２ｘｇ加えた。さらに、容器Ａ，Ｂからそれぞれｘｇ、２ｘｇを取り出し、容器Ｃに入れてよくかき混ぜたところ、容器Ｃの食塩水の濃度が４％になった。このとき、ｘを求めよ。

（慶應義塾志木）

第61問

【証明・相似 比・面積比】 　右の図のように、AD‖BCの台形ABCDがある。対角線ACと対角線BDとの交点をEとし、線分BC、BEの中点をそれぞれF、Gとする。また、AとF、FとGをそれぞれ結び、線分AFと線分BDの交点をHとする。このとき、次の問いに答えなさい。

１　△ADE∽△FBGであることを証明しなさい。

２　線分ADと線分BCの長さの比が５：８のとき、

　(1)　線分EHと線分HGの長さの比を求めよ。

　(2)　点Cと点Hを結び、△ADEの面積が15�p²のとき、△CEHの面積を求めよ。

（愛媛県教育会）

第60問

【 証明・相似】 右の図のように、平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＢＣ上に、∠ＡＢＤ＝∠ＡＥＤとなる点Ｅをとる。線分ＡＥと線分ＢＤの交点をＦとする。ただし、∠ＢＡＤは鋭角とする。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)　△ＡＥＤ≡△ＢＤＣであることを証明しなさい。

(2)　△ＦＢＥと△ＤＥＣの面積の比が９：１６のとき、次の問いに答えなさい。　

　ア　ＡＤ：ＢＥを求めなさい。

　イ　右の図のように平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣと対角線ＢＤ、線分ＤＥとの交点をそれぞれＧ，Ｈとする。ＡＧ＝３�pとするとき、ＣＨの長さを求めなさい。

（福井県）

第59問

【星形多角形の内角の和・円周角の定理】　 右の図のように、同一円周上の7点を結んでできた多角形について、しるしのついた７つの角の和を求めなさい。

（慶應義塾志木）

第58問

【箱ひげ図】　 右の図は、AチームとBチームの昨年の各80試合の得点の分布の様子を箱ひげ図に表したものである。このとき、箱ひげ図から読み取れることとして正しいものを、下のア〜オの中からすべて選び、記号で答えなさい。

ア　どちらのチームも得点が９点の試合があった。

イ　どちらのチームも得点が８点以上の試合が15試合以上あった。

ウ　AチームとBチームの得点の四分位範囲は等しい。

エ　Aチームの得点の範囲のほうがBチームの得点の範囲より大きい。

オ　Bチームの８点以上の試合数は、Aチームの９点以上の試合数の半分である。

（東京工業大学附属科学技術高）

第57問

【連立方程式】　 原価１５０円の商品Aと原価２００円の商品Bが合計２００個ある。商品A、商品Bともに原価の１割増の定価で全て販売する計画であったが、実際は商品A,Bともに原価に２５円の利益を加えてすべて販売したため、売り上げは計画より１５２０円多くなった。このとき、商品Aは何個販売したか求めなさい。

（関西学院高等部）

第56問

【不定方程式】　次の問いに答えなさい。

(1)　２０２３を素因数分解しなさい。

(2)　４ｍ^２＝ｎ^２＋２０２３となる自然数ｍ、ｎの組のうち、ｍが最小のものを求めなさい。

（青山学院高等部）

第55問

【 三平方の定理、相似】　 右の図のように、ABを直径とする半径６�pの円Ｏ上に、ＯＢ＝ＢＣとなるような点Ｃを一つとり、直線ＣＯと円Ｏの交点をＤとする。線分ＡＣの中点をＥとして、直線ＤＥと線分ＡＢ、円Ｏとの交点をそれぞれＦ，Ｇとする。

(1)　∠BACの大きさを求めなさい。(2)　線分ＤＥの長さを求めなさい。

(3)　線分ＤＦの長さを求めなさい。(4)　線分ＢＧの長さを求めなさい。

（青山学院高等部）

第54問

【立体の体積 ・線分の長さ】　 右の図のように1辺の長さが２�pの正八面体ABCDEFがあり、辺BFの中点をM、辺ACの中点をNとする。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)　△ABFの面積を求めなさい。

(2)　線分AMの長さを求めなさい。

(3)　線分MNの長さを求めなさい。

(4)　△AMNの面積を求めなさい。

（東京学芸大学附属高）

第53問

【立体の表面積・体積】

　 １辺の長さが６の正四面体ABCDについて、次の問いに答えなさい。

(1)　頂点Aから面BCDにひいた垂線の長さを求めなさい。

(2)　正四面体ABCDの各面の三角形の重心を結んでできる立体の体積を求めなさい。

（市川高）

第52問

【確率】

　 ４個の箱Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのすべてには、赤、青、白の３色の球が１個ずつ計３個が入っている。これらの箱から同時に１個ずつ球を取り出す。　　

　このとき、次の問いに答えなさい。

(1)　１色の色だけが取り出される確率を求めなさい。

(2)　３色の球すべてが取り出される確率を求めなさい。

(3)　２色の球だけが取り出される確率を求めなさい。

（城北高）

第51問

【場合の数】

　下の図のように、３，４，５の数字がひとつづつ書かれたカードが、順に３枚、４枚、５枚ある。このとき次の問いに答えなさい。

　３　３　３　　４　４　４　４　　５　５　５　５　５

(1)　 全てのカードを、書かれた数の和が等しくなるように７枚と５枚の２組に分けるとき、５枚のほうの組に５のカードは何枚あるか。

(2)　全てのカードを、書かれた数の和が等しくなるように６枚ずつ２組に分けたところ、一方の組には５のカードが２枚あった。この組には３，４のカードはそれぞれ何枚あるか。

(3)　カードを何枚か使って、書かれた数の和がそれぞれ５，１２，１３となる３組を作る。この３組の作り方は全部で何通りあるか。

（日本女子大附属）

第50問

【立体、三平方の定理】

　右の図のような正四面体ABCDがある。辺AB,CDの中点をそれぞれＭ，Ｎとし、ＭＮ＝√2とするとき、次の各問いに答えなさい。。

(1)　正四面体の1辺の長さを求めなさい。

(2)　頂点Ａから△ＢＣＤに垂線ＡＨを下ろす。線分ＡＨとＭＮの交点をＯとするとき、ＡＯ：ＯＨを求めなさい。

(3)　頂点Ａから、辺ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上の点を順に通って点Ｍにいたる最短距離の長さを求めなさい。

（巣鴨高）

第49問

【立体の体積、三平方の定理】

　母線の長さが10�p、底面の半径が５／２�pの円すいがある。次の問いに答えなさい。

(1)　円すいの体積を求めなさい。

(2)　円すいの頂点をO、底面の円周上の１点をAとし、母線OAの中点をMとする。図のようにMから円すいの側面に沿ってAまで糸を巻きつけたとき、その糸の最短の長さを求めよ。

（同志社高）

第48問

【相似、三平方の定理】

　AB＝AC＝１３�pの二等辺三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとする。辺AB上に点Eをとり、線分AMと線分DEの交点をFとしたところ、AD＝AF＝８�p、DF＝４�pであった。次の各問いに答えなさい。

(1)　線分AMの長さを求めなさい。

(2)　線分DEの長さを求めなさい。

(3)　△DMEの面積を求めなさい。

（筑波大附属高）

第47問

【円の性質、三平方の定理】

　右の図のように、AC,BCを直径とする2つの半円があり、大きい半円の弦AQが点Pで小さい円に接している。∠APC＝１２０°、小さい半円の半径を6として、次の各問いに答えなさい。

(1)　∠PACの大きさを求めなさい。

(2)　大きい半円の半径を求めなさい。

(3)　図の斜線部分の面積を求めなさい。

（青雲高）

第46問

【立体の体積、三平方の定理】

　右の図のように、1辺の長さが6�pの正四面体ABCDがある。辺AB,辺AC上にそれぞれ点Ｅ，Ｆをとる。ＡＥ＝4�p、ＡＦ＝2�pとするとき、次の問いに答えなさい。

(1)　△ＤＥＦの面積を求めなさい。

(2)　この正四面体を3点Ｄ，Ｅ，Ｆを通る平面で切ったとき、頂点Ｂを含む立体の体積を求めなさい。

（日大習志野高）

第45問

【二次方程式の利用】

　下の図のように、一直線の道に３地点Ｐ，Ｑ，Ｒがある。Ａ君は毎分ｘmの速さでPからRへ、B君は毎分75mの速さでQからPへ、C君は毎分ｙmの速さでＲからＰへ、それぞれ同時に出発して歩いていく。Ａ君とＢ君はＰから3600mのところですれ違い、その27分後にA君はQを通過した。このとき、次の問いに答えよ。

(1)　ｘの値を求めよ。

(2)　Ａ君とＣ君は出発してから40分後にすれ違い、Ａ君がＲに到着した18分後にＣ君はＰに到着した。ｙの値を求めよ。

（愛光高）

第44問

【円の性質、三平方の定理、立体の体積】

　空間内に、3点Ａ，Ｂ，Ｃおよび線分AB,BC,CAを直径とする円があり、これら3つの円が1点Ｏで交わっている。ＡＢ＝√6＋√2、ＢＣ＝√14、ＣＡ＝√6−√2とするとき、次の問いに答えよ。

(1)　OAの長さを求めよ。

(2)　四面体O-ABCの体積を求めよ。

(3)　△ABCを底面として見たとき、四面体O-ABCの高さを求めよ。

（海城高）

第43問

【連立方程式の利用】

　2つの濃度が違う食塩水の容器A,Bがある。容器Aには1200g、容器Bには800gの食塩水がそれぞれ入っている。Aの食塩水200gをBへ移し、よくかき混ぜてからBの食塩水500gをAに移すと、Aの食塩水の濃度は5％になる。また、Ａ，Ｂの食塩水をすべて混ぜ合わせると、濃度6％の食塩水ができる。このとき、容器Ａと容器Ｂの食塩水の濃度を求めなさい。

（国学院久我山高）

第42問

【式の展開、因数分解】

　（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）を展開しなさい。また、ａ^３＋８ｂ^３＋２７ｃ^３−１８ａｂｃを因数分解しなさい。

（函館ラ・サール高）

第41問

【 おうぎ形の面積、三平方の定理】

　右の図は、１辺が２�pの正方形に内接する円と、正方形の１辺を直径とする円が重なった図です。斜線部分の面積を求めなさい。

（法政大高）

第40問

【円の性質、相似、三平方の定理】

　右の図のように 、６�pの線分ABを直径とする円Oがある。円周上にAB⊥COとなる点Cをとる。Ａ：Ｂを２：１の比に分ける点をＤ，ＣＤを延長した直線と円Ｏとの交点をＥとする。次の問いに答えよ。

(1)　ＣＤの長さを求めよ。

(2)　ＢＥの長さを求めよ。

(3)　△ＡＤＥの面積を求めよ。

（同志社高）

第39問

【相似の利用】

　右の図のように長方形ABCDの中に円Oが3点P,Q,Rで接している。AB＝６�p、AD＝９�pである。また、対角線BDとPQ,PCとの交点をそれぞれS,Tとする。次の問いに答えなさい。

(1)　ＳＴ：ＴＤを求めなさい。

(2)　四角形ＳＴＣＱの面積を求めなさい。

（日大三高）

第38問

【2乗に比例する関数の利用】

　右の図の ２つのグラフは、放物線ｙ＝１／６ｘ^２と直線ｙ＝２／３ｘ＋２を表している。放物線と直線の交点のうち、ｘ座標の大きいほうの点をＡとし、ｙ軸と直線との交点をＢとする。また、ｘ軸上の正の範囲に点Ｐ（ｔ，０）をとる。次の問いに答えなさい。

(1)　点Ａの座標を求めなさい。

(2)　ＡＰ＝ＢＰとなるとき、ｔの値を求めなさい。。

(3)　ＡＰ＋ＢＰの長さが最短となるとき、ｔの値を求めなさい。

（日大三高）

第37問

【2乗に比例する関数 の利用】

　右の図のように、放物線ｙ＝１／２ｘ２と、点Ａ（０，−３）を通り傾きが正の直線　l　がある。放物線と　ｌ　との交点をｘ座標の小さいほうから順にＢ，Ｃとし、ｌ　とｙ軸との交点をＤとする。点Ｃのｙ座標が１８であるとき、次の問いに答えなさい。

(1)　点Ｃのｘ座標と　ｌ　の方程式を求めなさい。

(2)　△ＯＢＡと△ＯＣＢの面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

(3)　点Ｄを通り、△ＯＣＡの面積を2等分する直線の方程式を求めなさい。

（愛光）

第36問

【連立方程式の利用】

　あるクラスでサツマイモと大根の収穫をした。1本450gのサツマイモと1本940gの大根が合わせて245�s収穫できた。このクラスの全員にサツマイモを6本ずつ配ると6本余り、大根を4本ずつ配ると24本足りない。サツマイモと大根の本数を求めなさい。また、このクラスの人数を求めなさい。

（お茶の水女子大付属高）

解答

第35問

【二等辺三角形、中点連結定理、相似、円の性質、三平方の定理】

　右の図のように、BC＝12、AC＝8の△ABCと、BCを直線とする中心Oの円がある。2辺ＡＢ，ＡＣと円Ｏの交点をそれぞれＤ，Ｅとし、ＤＥとＯＡの交点をＦとする。ＣＥ＝ＥＤのとき、次の各問いに答えなさい。

(1)　ＡＥの長さを求めなさい。

(2)　ＢＤの長さを求めなさい。

(3)　ＤＦの長さを求めなさい。

(4)　ＯＡの長さを求めなさい。

（東京学芸大学付属高）

解答

第34問

【連立方程式の利用】

　次の問題では、Aさんはいつでも毎分60mの速さで歩き、Bさんは毎分smまたは毎分ｔmのいずれかの速さで歩くものとする。

　学校から駅までをAさんが歩いたときの所要時間は30分であり、Bさんが毎分smで歩いた時の所要時間はAさんより10分少なく、毎分ｔｍの速さで歩いた時の所要時間はＡさんよりも6分多くかかる。このとき、次の問に答えなさい。

(1)　ｓ、ｔの値を求めなさい。

(2)　2人が同時に学校を出発して駅に向かった。Ｂさんは、はじめ毎分ｓｍの速さで歩き、途中から毎分ｔｍに速さを変えて、歩いたら、Ａ酸と同時に駅に着いた。このとき、Ｂさんが毎分ｓｍの速さで歩いた道のりを求めなさい。

(3)　別の日に、2人が同時に学校を出発して駅に向かった。Ｂさんが毎分ｔｍの速さで歩いていたら、忘れ物を取りに引き返すＡさんと、学校から750ｍのところですれ違った。このとき、Ａさんが引き返したのは、学校を出発してから何分後かを求めなさい。

（東京工業大学付属科学技術高）

解答

第33問

【円の性質、三平方の定理】

右の図で、△ABC≡△DCB、AE＝2√2�p、CD＝√6�p、∠ACE＝∠ABE＝90°、∠BEC＝122°である。このとき、∠AEBと∠EDCの大きさを求めよ。

（慶應義塾高）

解答

第32問

【２次方程式の利用】

ある商品の値段をｘ％値下げしたところ、売上個数が２ｘ％増え、売上金額もｘ／１０（１０分のｘ）％増えた。このとき、ｘの値を求めなさい。ただし、ｘ＞０とする。

（市川高）

解答

第31問

【２次方程式の利用】

ある高校の２０２１年度の入学者数は４００名であった。２０２２年度の入学者数は２０２１年度よりもｘ％増加し、２０２３年度は２０２２年度よりもｘ％減少した。その結果、２０２１年度から２０２３年度までの入学者数の合計は１２１９名となった。また、どの年度の入学者数も５００名以下であった。このとき、ｘの値を求めよ。

（青山学院高等部）

解答

第30問

【連立方程式の利用】

容器Aにはｘ％の食塩水が400g、容器Bにはｙ％の食塩水が500ｇ入っている。いま、容器Ａ、Ｂからそれぞれ100gの食塩水を取り出し、容器Aから取り出した食塩水を容器Bに、容器Bから取り出した食塩水を容器Aに入れてかき混ぜる。その後、それぞれの容器の水をすべて蒸発させたところ、容器A、容器Bとも22gの食塩が残った。次の各問いに答えなさい。

（1）　水をすべて蒸発させた後の容器Aに残った食塩の量をｘ、ｙで表せ。

（2）　ｘ、ｙの値を求めよ。

（成蹊高）

解答

第29問

【連立方程式の利用】

ある川の上流に地点Pがあり、その37.8ｋｍ下流に地点Ｑがある。ある時刻にボートがＰからＱに向かって、遊覧船がＱからＰに向かって同時に出発した。ボートと遊覧船は出発してから42分後にすれ違い、さらにその12分後にボートはＱに到着した。ボートはＱでｘ分間休んだ後、再びＰに向かって出発し、途中で遊覧船を追い越した。ボートがＱを出発し てから遊覧船を追い越すまでに要した時間は、ボートがＰを出発してからＱを出発するまでに要した時間のちょうど半分であった。川の流れの速さは毎分ａｍ、ボートの静水中での速さは毎分ｂｍ、遊覧船の静水中での速さは毎分ｃｍとする。

(1)　遊覧船がＱを出発してからＰに到着するまでに要した時間を求めよ。

(2)　ａ，ｂ，ｃの値を求めよ。

(3)　ボートがＰに到着してから7分後に遊覧船がＰに到着した。ｘの値を求めよ。

（灘高）

解答

第28問

【三平方の定理・円の性質・相似】

右の図は、ABを直径とする半径４の半円である。点Cと点Eは円周上にあり、BC＝２、CD＝３である。ACとBEの交点をPとするとき、APの長さを求めよ。

（日大豊山高）

解答

第27問

【一次関数・動点】

右の図のように、たて４�p、横１２�pの長方形ABCDがあります。２点P,Qは同時に点Aを出発します。点Pは秒速0.5ｍで長方形ＡＢＣＤの辺上を移動し、点Ｂ，Ｃ，Ｄの順に通ってＡに戻ってきます。点Ｑは秒速１ｍで長方形ＡＢＣＤの辺上を移動し、点Ｄ，Ｃ，Ｂの順に通ってＡに戻ってきます。２点Ｐ，Ｑが同時に点Ａを出発してからｘ秒後の三角形ＡＰＱの面積をｙ㎠とします。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)　次のそれぞれの場合について、2点Ｐ，Ｑがともに辺ＢＣ上にあるとき、ｙをｘで表しなさい。また、そのときのｘのとりえる値の範囲を不等号を用いて書きなさい。ただし、点Ｐと点Ｑが重なった瞬間は考えないものとします。

ア　点Ｐと点Ｑが重なる前　　　イ　点Ｐと点Ｑが重なった後

(2)　2点Ｐ，Ｑがともに辺ＢＣ上にあるとき、三角形ＡＰＱの面積が４㎠になるのは、点Ａを出発してから何秒後ですか。

（立命館高）

解答

第26問

【平面図形、円周角と中心角、三平方の定理】

下の図のように、大、小２つの半円板を、中心Oが重なるように置いておく。大きいほうの半円板を、点Aを中心として時計回りに回転して、弧AB上に点Oがくるようにしたら、弧ABと弧CDの交点Mが弧AM＝弧MOをみたすようになった。このとき、次の問に答えよ。

(1)　∠COMの大きさを求めよ。

(2)　AB＝４のとき、２つの半円板が重なった部分の面積を求めよ。 

（ラ・サール高）

解答

第25問

【方程式の利用】

ある店ではＡ，Ｂ２つの品物を売っている。昨日より今日は、Ａ，Ｂともにｋ個ずつ多く売れ、今日の売上個数はＡ，Ｂ合わせて153個であった。また、売上個数に関して、昨日より今日は、Ａについて15％増加、Ｂについて12％増加したことになる。このとき、次の問に答えなさい。

(1)　昨日のＡ，Ｂの売上個数をｋの式で表せ。

(2)　今日のＡ，Ｂの売上個数をそれぞれ求めよ。

（ラ・サール高）

解答

第24問

【方程式の利用】

あるパン屋さんでは、1個60円のパンが毎日800個売れます。このパン1個につきｘ円値上げすると、1日の売上個数が、５ｘ個減ることが分かっているとき、今より売上金額を8000円上げるには、パン1個の値段をいくらにすればよいですか。ただし、売上幅は50円未満とします。

（東京電機大学高）

解答

第23問

【円の性質・相似】

右の図において、四角形ＡＢＣＤが図のような位置で円に内接しているとき、ｘの値を求めよ。ただし、点Ｏは円の中心とする。

（日大豊山高）

解答

第22問

【数の性質】

２つの正の整数Ａ，Ｂ（Ａ＞Ｂ）があり、ＡＢ＝１９２０、Ａ，Ｂの最小公倍数が２４０である。このとき、ＡとＢの和が最少となるＡの値を求めなさい。

（明大付属明治）

解答

第21問

【因数分解】

等式　ｘ^２−９ｙ^２＝１３３　を満たす自然数ｘ、ｙの組を全て求めよ。

（立教新座高）

解答

第20問

【数の性質】

０，１，２の３種類の数字を用いて整数をつくり、次のように小さい順に並べていく。

０，１，２，１０，１１，１２，２０，・・・・このとき、次の問いに答えなさい。

(1)　15番目の数は何ですか。

(2)　２０１１は何番目の数ですか。

（立教新座高）

第19問

【一次方程式の利用】

ともに1分ごとに動く長針と短針を持つ時計がある。この時、次の問いに答えなさい。ただし、長針と短針のつくる角度は、１８０°以下で考えること。

(1)　2時36分のとき、長針と短針のつくる角度を求めなさい。

(2)　4時15分以降に初めて長針と短針のつくる角度が１００°になるときの時刻を求めなさい。

（日大三高）

第18問

【連立方程式の利用】

A君とB君の2人がイチゴの箱詰め作業をしました。A君は15秒でｘ個入りの箱を１つ作り、Ｂ君は20秒でｙ個入りの箱を１つ作る。2人がいっしょに10分間作業したところ、850個のイチゴが箱詰めされた。また、Ａ君の箱５つに入っているイチゴの個数はＢ君の箱3つに入っているイチゴの個数より5個多い。このとき、ｘとｙの値を求めよ。　

（関西学院高等部）

解答

【方程式・平方根の計算】

1辺が1�pの正方形を紙で２枚作って重ね、そのうちの１枚を対角線の交点を中心として４５°回転させたとき、２枚の正方形が重なる部分（図の灰色部分）の面積を求めなさい。

（慶應義塾高）

【数の性質、二次方程式】

2つの自然数ａ，ｂに対して、ａをｂで割ったときの余りを（ａ，ｂ）と表す。たとえば、（１０，３）＝１、（４，２）＝０である。このとき、（ｘ，4）^２＋４（ｘ、４）ー２１＝０を満たす2桁の自然数ｘは、全部で何個ありますか。

（明大付属明治）

【数の性質】

１からある数までの連続する整数を、左から順に並べて数を作ります。例えば、１から１２までのときは１２３４５６７８９１０１１１２のように、15桁の数ができます。このとき、次の問に答えなさい。

(1)　１から９９９までで数を作りました。

ア　この数は何桁ですか。

イ　この数には、同じ数字がいくつか連続しているところがあります。同じ数字が5個連続している部分は、何か所ありますか。

ウ　同じ数字が3個連続している部分は何か所ありますか。ただし、イで数えたものは含みません。

(2)　１からある数までで数を作ったら、２０１１桁より大きい桁の数になりました。ある数として考えられるもののうち、最も小さいものを答えなさい。

（筑波大付属駒場）

【因数分解・方程式】

次の問に答えなさい。

（１）　ｍｎ−ｍ−ｎ＋１を因数分解しなさい。

（２）　ｍｎとｍ＋ｎの差が２０１１となる自然数ｍ、ｎ（ただし、ｍ＞ｎ）の組を全て求めなさい。

【因数分解】

9a²ー1ー4b²＋4bを因数分解しなさい。

（白陵高）

【確率】

１から６までの数字が書かれた６枚のカードが入った箱がある。この箱からカードを１枚ずつ４枚取り出し、取り出した順に並べていく。このとき、次の問に答えなさい。

(1)　並べ方は全部で何通りありますか。

(2)　並べたカードの両端が１と６になっている確率を求めなさい。

(3)　並べたカードに１と６が含まれ、しかも１が６よりも左側にある確率を求めなさい。

（愛光高）

【数の計算】

2023に自然数をかけて、ある整数の3乗になるようにしたい。かけるべき最小の自然数を求めなさい。

【数の計算】

８０×７５×５３×３０×２５の一の位の数は０である。一の位、十の位、百の位・・・と、順にみていくとき、一の位から連続して並んでいる０の個数を答えなさい。

（お茶の水女子附属高）

【因数分解・式の値】

ｘ＝１＋、ｙ＝２＋√3、ｚ＝４＋√6　のとき、

xyz−4xy−yz−2zx＋8x＋4y＋2z−8の値を求めなさい。

（灘高）

【数の性質】

１を７で割ったときの小数点以下第100位の数を求めなさい。

【平行線と面積】

下の△ABCの面積を、点Dを通る線分で二等分しなさい。

【方程式】

ある昆虫の、オスは１匹５円、メスは１匹３円、幼虫は３匹で１円です。オスをできるだけ多くして、１００円で１００匹の昆虫を買おうと思います。オス、メス、幼虫それぞれ何匹ずつ買えばいいでしょうか。

【数の計算】

２⁵⁶と５²⁴ではどちらが大きいですか。

【数の計算】

３^２０２３の、一の位の数を求めなさい。

（明治学院高）

解答

第３問

【数の計算】

９９９９−２０００４＋１００１×９９１＋９−１０００１×１９９９６　を計算しなさい。

（慶應義塾女子）

解答

第２問

【確率】

大中小の3つのサイコロを投げて出た目の積が偶数になる確率を求めなさい。

（日大二高）

解答

第１問

【数の計算】

504／ｎが自然数になり、ｎ／825がこれ以上約分できないような分数になる最大の整数ｎを求めなさい。（日大二高）

解答