前ちゃんの中学校数学の部屋

last update 2017/02/05


 

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  中学校3年 式の展開と因数分解



  速算法


中学校学習指導要領解説の数学編(平成20年9月)に、第3学年の「数と式」における数学的活動として、速算法のことが出ています。そのねらいは仕組みを文字式を使って明らかにしたり、新たな速算法とその仕組みを考えることで、発展させることをねらいとしています。小学校で学習したかけ算の筆算を、文字式としてみた場合の仕組みについて考え、解明し、違う方法で早く正確な答えを出すことができるというのは、生徒にとってとても魅力的なことではないでしょうか。ここでは少し速算法について私なりに分かりやすく説明していきたいと思います。

 参考文献:退職後もご活躍しておられます、村上敏光先生著「計さんの友」


10の位が同じ数、1の位の和が10になる2けたの数のかけ算

 

右の計算 74×76 をまず文字式で一般化します。

2けたの数をそれぞれ 10a+c、10b+d とすると、

(10a+c)(10b+d)=100ab+10ad+10bc+cd

この式の場合10の位の数が7と7で等しいので a=b となり、

=100a2+10a(c+d)+cd

=10a(10a+c+d)+cd

さらに、1の位の数の和(4+6)が10なので、c+d=10

=100a(a+1)+cd

このことから、このパターン(10の位が同じ数、1の位の和が10)の計算は100の位以上がa(a+1)、10の位までがcdとなり、

a(a+1)=7×(7+1)=7×8=56、cd=4×6=24で5624となります。

 

練習問題

(1)      (2)      (3)       (4)      (5)

    54     43          18          25            89

×56       ×47       ×12       ×25        ×81    答えはこちら

(例)   

74

  ×76

5624

 


1の位が同じ数で、10の位の和が10になる2けたの数のかけ算

 

右の計算 47×67 をまず文字式で一般化します。

2けたの数をそれぞれ 10a+c、10b+d とすると、

(10a+c)(10b+d)=100ab+10ad+10bc+cd

この式の場合1の位の数が7と7で等しいので c=d となり、

=100ab+10ac+10bc+c2

=100ab+10c(a+b)+c2

さらに、10の位の数の和(4+6)が10なので、a+b=10

=100(ab+c)+c2

このことから、このパターン(1の位が同じ数、10の位の和が10)の計算は100の位以上がab+c、10の位までがc2となり、

ab+c=4×6+7=31、c2=7×7=49で3149となります。

 

練習問題

(1)      (2)      (3)       (4)      (5)

    45     34          81           52           98

×65       ×74       ×21       ×52        ×18    答えはこちら

 (例) 

47

  ×67

3149

 


 


 

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